Vektorové a maticové výpočty

📐 Úvod

Vektory a matice sú základnými stavebnými prvkami lineárnej algebry, ktorá tvorí nevyhnutný základ pre množstvo vedných oblastí. Ich pochopenie je kľúčové pre prácu v oblastiach ako napríklad:

• 📊 Dátová analýza – ukladanie a spracovanie veľkých súborov čísel

• 🤖 Strojové učenie – reprezentácia modelov, parametrov a váh

• 🛰 Geoinformatika a geodézia – transformácie súradníc a priestorové výpočty, riešenie sústav rovníc popisujúcich rôzne systémy

V tejto kapitole si ukážeme:

• Základné operácie s vektormi a maticami

• Pokročilejšie maticové operácie

• Riešenie sústav lineárnych rovníc

❕ Všetky príklady budeme realizovať v jazyku Python pomocou knižnice NumPy, ktorá je optimalizovaná pre rýchle a efektívne výpočty.

---

🧮 Vektory – základné operácie

Vektor je usporiadaná postupnosť čísel (1D pole). Najčastejšie reprezentuje súradnice bodu alebo hodnoty veličín.

Import knižnice a vytvorenie vektorov

import numpy as np

# Vytvorenie vektorov
v = np.array([1, 2, 3])
u = np.array([4, 5, 6])

print("v =", v)
print("u =", u)

v = [1 2 3]
u = [4 5 6]

Sčítanie a odčítanie

print("v + u =", v + u) # Sčítanie
print("v - u =", v - u) # Odčítanie

v + u = [5 7 9]
v - u = [-3 -3 -3]

Skalárne operácie (po prvkoch)

print("2 * v =", 2 * v)
print("v / 2 =", v / 2)

2 * v = [2 4 6]
v / 2 = [0.5 1.  1.5]

Skalárny súčin (Dot product)

dot_product = np.dot(v, u)  # alebo v @ u
print("v · u =", dot_product)

v · u = 32

💡 Alternatívnym zápisom skalárneho súčinu je operátor @ pre maticové násobenie, pri vektroch však funguje aj ako skalárny súčin.

Vektorový súčin (Cross product)

cross_product = np.cross(v, u)
print("v x u =", cross_product)

v x u = [-3  6 -3]

Normy (dĺžky)

print("||v|| =", np.linalg.norm(v))
print("||u|| =", np.linalg.norm(u))

||v|| = 3.7416573867739413
||u|| = 8.774964387392123

---

🔢 Matice – základné operácie

Matica je 2D pole (riadky × stĺpce). Používa sa na reprezentáciu lineárnych zobrazení a sústav rovníc.

Vytvorenie matíc

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])

print("A =\n", A)
print("B =\n", B)

A =
 [[1 2]
 [3 4]]
B =
 [[5 6]
 [7 8]]

Sčítanie a odčítanie

# Sčítanie, odčítanie
print("A + B =\n", A + B)
print("A - B =\n", A - B)

A + B =
 [[ 6  8]
 [10 12]]
A - B =
 [[-4 -4]
 [-4 -4]]

Násobenie po prvkoch

print("A * B (po prvkoch) =\n", A * B)

A * B (po prvkoch) =
 [[ 5 12]
 [21 32]]

Maticové násobenie (lineárna algebra)

print("A @ B =\n", A @ B)       # ekvivalent np.dot(A, B)
print("B @ A =\n", B @ A)

A @ B =
 [[19 22]
 [43 50]]
B @ A =
 [[23 34]
 [31 46]]

💡 Ekvivalentným spôsobom maticového násobebia je aj použitie funkcie np.dot().

print("A @ B =\n", np.dot(A,B))
print("B @ A =\n", np.dot(B,A))

A @ B =
 [[19 22]
 [43 50]]
B @ A =
 [[23 34]
 [31 46]]

Transpozícia

print(“A^T =”, A.T) print(“A^T =”, np.transpose(A))

💡 Ekvivalentným spôsobom transpozície je aj použitie funkcie np.transpose().

---

🚀 Užitočné funkcie lineárnej algebry (np.linalg)

Determinant matice

det_A = np.linalg.det(A)
print("det(A) =", det_A)

det(A) = -2.0000000000000004

Hodnosť matice

rank_A = np.linalg.matrix_rank(A)
print("rank(A) =", rank_A)

rank(A) = 2

Inverzia matice

inv_A = np.linalg.inv(A)
print("A^{-1} =\n", inv_A)

A^{-1} =
 [[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

---

🧱 Jednotkové a diagonálne matice

Jednotková matica

I = np.eye(3)
print("I =\n", I)

I =
 [[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

Diagonálna matica matica

D = np.diag([1.0, 2.0, 3.0])
print("D =\n", D)

D =
 [[1. 0. 0.]
 [0. 2. 0.]
 [0. 0. 3.]]

Hodnota na diagonále

diag_D = np.diag(D)
print("diag_D =\n", diag_D)

diag_D =
 [1. 2. 3.]

💡 Všimnite si, že funkcia np.diag() mení svoju funckionalitu v závislosti od vstupných argumentov. V prípade, že vstupom je vektor vytvorí štvorcovú maticu s hodnotami tohto vektora na diagonále. V prípade, že argumetom je matica, funkcia vráti hodnoty na hlavnej diagonále matice.

---

🧩 Riešenie sústav lineárnych rovníc

🧮 Pomocou funkcie np.linalg.solve

A1 = np.array([[2.0, 1.0],
               [3.0, 4.0]])
b1 = np.array([8.0, 18.0])

x1 = np.linalg.solve(A1, b1)
print("Riešenie A1 x = b1:", x1)

Riešenie A1 x = b1: [2.8 2.4]

🗞️ Pomocou inverznej matice

A2 = np.array([[2.0, 1.0],
               [3.0, 4.0]])
b2 = np.array([8.0, 18.0])

x2 = np.linalg.inv(A2) @ b2
print("Riešenie A2 x = b2:", x2)

Riešenie A2 x = b2: [2.8 2.4]

---

🧠 Zhrnutie

• Používajte vektorové a maticové operácie z balíčka NumPy(sú rýchlejšie než slučky v Pythone).
• @ je operátor pre maticové násobenie: A @ B.
• Modul np.linalg obsahuje pokročilejšie nástoroje lineárnej algebry`.

---

📚 Oficiálna dokumentácia NumPy

Podrobný popis funkcií, ich parametrov a príkladov použitia nájdete v oficiálnej dokumentácii knižnice NumPy na adrese: https://numpy.org/doc/stable/.

---

🎞️ Videonávod

---