Derivácie a integrály

🧮 Úvod

Balíček SymPy umožňuje symbolicky derivovať a integrovať výrazy.

Kľúčové funkcie: - Derivácie: diff, Derivative (formálny objekt), doit()
- Integrály: integrate, Integral (formálny objekt), doit()
- Hodnotenie: subs, evalf / N —

🧮 Derivovanie

import sympy as sp
sp.init_printing()

x, y, a = sp.symbols('x y a')

Jednoduché derivácie

sp.diff(x**3 + 2*x - 5, x)          # 3*x**2 + 2

\(\displaystyle 3 x^{2} + 2\)

sp.diff(sp.sin(x) + sp.exp(2*x), x)       # cos(x) + 2*exp(2*x)

\(\displaystyle 2 e^{2 x} + \cos{\left(x \right)}\)

sp.diff(sp.log(x), x)                  # 1/x

\(\displaystyle \frac{1}{x}\)

Vyšší rád derivácie

sp.diff(sp.sin(x), x, 2), 

\(\displaystyle \left( - \sin{\left(x \right)},\right)\)

sp.diff(sp.exp(a*x), x, 3)

\(\displaystyle a^{3} e^{a x}\)

Parciálne derivácie

f = x**2 * y + sp.sin(x*y)

sp.diff(f, x)

\(\displaystyle 2 x y + y \cos{\left(x y \right)}\)

sp.diff(f, y)

\(\displaystyle x^{2} + x \cos{\left(x y \right)}\)

Zmiešaná parciálna derivácia

sp.diff(f, x, 1, y, 2) 

\(\displaystyle - x \left(x y \cos{\left(x y \right)} + 2 \sin{\left(x y \right)}\right)\)

Tento zápis namená derivovanie funkcie f podľa viacerých premenných naraz. - f – funkcia, ktorú derivujeme, - x, 1 – derivuje raz podľa x, - y, 2 – derivuje dvakrát podľa y.

➡️ Výsledkom je zmiešaná parciálna derivácia.

Formálny diferenciálny objekt a vyhodnotenie

D = sp.Derivative(sp.sin(x**2), x)
D, D.doit()

\(\displaystyle \left( \frac{d}{d x} \sin{\left(x^{2} \right)}, \ 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}\right)\)

---

🧮 Integrovanie

Neurčitý integrál

⚠️ SymPy nevracia „+c“ — integračná konštanta je implicitná.

sp.integrate(3*x**2 + 2, x), 

\(\displaystyle \left( x^{3} + 2 x,\right)\)

sp.integrate(sp.exp(a*x), x)

\(\displaystyle \begin{cases} \frac{e^{a x}}{a} & \text{for}\: a \neq 0 \\x & \text{otherwise} \end{cases}\)

sp.integrate(sp.cos(x), x)

\(\displaystyle \sin{\left(x \right)}\)

Určitý integrál

sp.integrate(sp.sin(x), (x, 0, sp.pi)), 

\(\displaystyle \left( 2,\right)\)

sp.integrate(x**2, (x, -1, 2))

\(\displaystyle 3\)

Formálny objekt a vyhodnotenie

I = sp.Integral((x**2),(x,0,10))
I, I.doit()

\(\displaystyle \left( \int\limits_{0}^{10} x^{2}\, dx, \ \frac{1000}{3}\right)\)

---

🧠 Zhrnutie

• Derivácie: diff(expr, var, n).
• Integrály: integrate(expr, (var, a, b)) alebo integrate(expr, var).
• Formálne objekty: Derivative, Integral + doit().

---

📚 Oficiálna dokumentácia SymPy

Podrobný popis funkcií, ich parametrov a príkladov použitia nájdete v oficiálnej dokumentácii knižnice SymPy na adrese: https://docs.sympy.org/latest/index.html.

---

🎞️ Videonávod

---